Question

設(shè)曲線f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，則log₂₀₁₀x₁+log₂₀₁₀x₂+…+log₂₀₁₀x₂₀₀₉的值為（　�。�

• A、-log₂₀₁₀2009
• B、-1
• C、（（log₂₀₁₀2009）-1
• D、1

Answer 1

分析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率k，寫(xiě)出過(guò)（1，1）的切線方程，在切線方程中令f（x）=0，可得x_n，然后根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算．

解答：解：設(shè)過(guò)（1，1）的切線斜率k，f（x）′=（n+1）xⁿ
則k=f（1）′=n+1，切線方程y-1=（n+1）（x-1）
令y=0，可得xn=

n

n+1

∴X1•X2…X2009=

1

2

•

2

3

• …

2009

2010

=

1

2010

log₂₀₁₀x₁+log₂₀₁₀x₂+…+log₂₀₁₀x2009=log2010X1• X2…X2009=log2010

1

2010

=-1
故選 B

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及過(guò)某一定點(diǎn)的切線方程，熟悉對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則是解決本題的基礎(chǔ)；對(duì)于這類問(wèn)題還考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)、基本技能的掌握程度．