Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)且.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過P點(diǎn)的直線與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線平行于OP（O為原點(diǎn)），且與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)M（M介于A、B兩點(diǎn)之間）.

（i）當(dāng)面積最大時(shí)，求的方程；

（ii）求證：，并判斷，的斜率是否可以按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析，不可能構(gòu)成等比數(shù)列.

【解析】

（1）設(shè)，.求出的坐標(biāo)，根據(jù)，求出.把點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合，求出，即得橢圓C的方程；

（2）（i）設(shè)方程為，.把直線的方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求出.由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)P到的距離，則，根據(jù)基本不等式求面積的最大值，即求的方程；（ii）要證結(jié)論成立，只須證明，即證直線為的平分線，轉(zhuǎn)化成證明.

又與C有一個(gè)公共點(diǎn)，即為橢圓的切線，可求，又.由題意，，，四個(gè)數(shù)按某種順序成等比數(shù)列，推出矛盾，故不可能構(gòu)成等比數(shù)列.

（1）設(shè)，，

則，.

，.

又在橢圓上，故，

又，解得，，

故所求方程為.

（2）（i）由于，

設(shè)方程為，.

由，消y整理得，

，

則

.

又點(diǎn)P到的距離,

.

當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，等號(hào)成立.

故直線AB的方程為：.

（ⅱ）要證結(jié)論成立，只須證明：，

由角平分線性質(zhì)即證：直線為的平分線，

轉(zhuǎn)化成證明：.

因?yàn)?/span>

因此結(jié)論成立.

又與C有一個(gè)公共點(diǎn)，即為橢圓的切線，

由得

令，，

則，

所以，所以，

故所研究的4條直線的斜率分別為，，，，

若這四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且其公比記為q，

則應(yīng)有或，或.

因?yàn)?/span>不成立，所以，

而當(dāng)時(shí)，，，

此時(shí)直線PB與重合，不合題意，

故，，PA，PB的斜率無論怎樣排序都不可能構(gòu)成等比數(shù)列.