Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象在y軸上的截距為5，且滿足下列兩個(gè)條件：①f（x）=f（2-x）；②f（-1）=2f（1）．（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤20，求相應(yīng)x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由縱軸上的截距是5，可得c；由f（x）=f（2-x），可得對(duì)稱軸為x=1，再由f（-1）=2f（1），可得a，b的關(guān)系式，解方程即可得到所求二次函數(shù)f（x）的解析式；
（2）運(yùn)用因式分解法，即可得到所求x的取值集合．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象在縱軸上的截距是5，
且滿足f（x）=f（2-x），f（-1）=2f（1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{-\frac{2a}=1}\\{a-b+c=2（a+b+c）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²-2x+5；
（2）f（x）≤20，即為x²-2x-15≤0，
即（x-5）（x+3）≤0，
解得-3≤x≤5，
則x的取值集合為[-3，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，一元二次不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．