分析 以A為原點(diǎn),AE為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出點(diǎn)B到平面AEF的距離.
解答 解:∵四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,
∴以A為原點(diǎn),AE為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵AB=2,PA=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$,E為BC中點(diǎn),F(xiàn)在棱PD上,AF⊥PD,
∴A(0,0,0),B($\sqrt{3}$,-1,0),E($\sqrt{3},0,0$),P(0,0,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$),D(0,2,0),
設(shè)F(a,b,c),$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PD}$,則(a,b,c-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$)=(0,2λ,-$\frac{2\sqrt{3}}{3}λ$),
解得a=0,b=2λ,c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}λ$,
∴$\overrightarrow{AF}$=(0,2λ,$\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}λ$),$\overrightarrow{PD}$=(0,2,-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$),
∵AF⊥PD,∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{PD}$=4λ-$\frac{4}{3}+\frac{4}{3}λ=0$,
解得λ=$\frac{1}{4}$,∴$\overrightarrow{AB}$=($\sqrt{3},-1,0$),$\overrightarrow{AE}$=($\sqrt{3},0,0$),$\overrightarrow{AF}$=(0,$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
設(shè)平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$,取y=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{n}$=(0,$\sqrt{3},-1$),
∴點(diǎn)B到平面AEF的距離為:
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
故答案為:$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 棱長(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)切球的表面積為4π | |
B. | 三條平行直線最多確定三個(gè)平面 | |
C. | 正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB與C1D1異面 | |
D. | 若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,則平面α∥平面γ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
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A. | $-\root{3}{2}$ | B. | $-\frac{1}{2}$ | C. | -2 | D. | $-\root{3}{0.5}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | [-1,0] | B. | [-1,0) | C. | (-1,0] | D. | (-1,0) |
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