已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別是A,B,C,所對(duì)邊分別為a,b,c,滿足
BC
•(
AC
-
3
BA
)=0

(1)求
tanB
tanC
的值;
(2)若C=30°,a=
3
+1
,求△ABC的面積S.
分析:(1)已知等式左邊利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則變形,整理后即可求出所求式子的值;
(2)由C的度數(shù)求出tanC的值,根據(jù)(1)的結(jié)論求出tanB的值,確定出B度數(shù),進(jìn)而求出A的度數(shù),確定出sinA的值,由a,sinA,sinC的值,利用正弦定理求出c的值,再由a,c,sinB的值,利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積.
解答:解:(1)
BC
•(
AC
-
3
BA
)=abcosC-
3
accosB=0,即bcosC=
3
ccosB,
利用正弦定理化簡(jiǎn)得:sinBcosC=
3
sinCcosB,
∵cosCcosB≠0,
∴tanB=
3
tanC,
tanB
tanC
=
3
;
(2)∵C=30°,即tanC=
3
3
,
∴tanB=
3
×
3
3
=1,即B=45°,
∴A=105°,即sinA=sin105°=sin(60°+45°)=
3
2
×
2
2
+
1
2
×
2
2
=
6
+
2
4
,
由正弦定理
a
sinA
=
c
sinC
,a=
3
+1,
得c=
asinC
sinA
=
(
3
+1)×
1
2
6
+
2
4
=
2
,
則S△ABC=
1
2
acsinB=
1
2
×(
3
+1)×
2
×
2
2
=
3
+1
2
點(diǎn)評(píng):此題考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面積公式,熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足
PA
+
PB
+
PC
=
AB
,下列結(jié)論中正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P,若
PA
+
PB
+
PC
=
AB
,則點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)ABC及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足:
PA
+
PB
+
PC
=
0
,若實(shí)數(shù)λ滿足:
AB
+
AC
=λ
AP
,則λ的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,3)、B(3,1)、C(-1,0),求BC邊上的高所在的直線方程.
(2)過橢圓
x2
16
+
y2
4
=1
內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)引一條弦,使得弦被M點(diǎn)平分,求此弦所在的直線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足:
PA
+
PB
+
PC
=
0
,若實(shí)數(shù)λ 滿足:
AB
+
AC
AP
,則λ的值為( 。
A、3
B、
2
3
C、2
D、8

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