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在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，且在△ABC所在的平面內存在一點O，使得（
OA
+
OB
）•
AB
=（
OB
+
OC
）•
BC
=（
OC
+
OA
）•
CA
=0成立，則
AO
•
BC
的值為（　�。�
A、7B、8C、9D、10
考點：平面向量數量積的運算
專題：計算題,平面向量及應用
分析：運用向量的三角形法則和向量的平方即為模的平方，可得|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|．即O為△ABC的外心．再由
AO
•
BC
=
AO
•（
AC
-
AB
）=
AO
•
AC
-
AO
•
AB
，運用向量的數量積的定義和幾何意義，結合等腰三角形的性質，即可計算得到．
解答： 解：由于（
OA
+
OB
）•
AB
=（
OB
+
OC
）•
BC
=（
OC
+
OA
）•
CA
=0，
則（
OA
+
OB
）•（
OB
-
OA
）=（
OB
+
OC
）•（
OC
-
OB
）=（
OC
+
OA
）•（
OA
-
OC
）=0，
即有
OB
2-
OA
2=
OC
2-
OB
2=
OA
2-
OC
2=0，
即
OA
2=
OB
2=
OC
2，即|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|．
即O為△ABC的外心．
由于O為外心，D，E為中點，OD，OE分別為兩中垂線．
AB
•
AO
=|
AB
|（|
AO
|cos∠DAO）=|
AB
|•|
AD
|
=
1
2
|
AB
|2=
9
2
，
同樣地，
AC
•
AO
=
1
2
|
AC
|2=
25
2
，
則
AO
•
BC
=
AO
•（
AC
-
AB
）=
AO
•
AC
-
AO
•
AB

=
25
2
-
9
2
=8．
故選：B．
點評：本題考查向量的數量積的定義和性質，主要考查向量的平方即為模的平方，同時考查向量的三角形法則和外心的性質，運用等腰三角形的性質是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

正四棱柱ABCD-ABCD中，已知AB=2，E，F分別是D1B，AD的中點，cos＜
DD1
，
CE
＞=
3
3

（1）以D為坐標原點，建立適當的坐標系，求出E點的坐標；
（2）證明：EF⊥D1B且EF⊥AD
（3）求二面角D1-BF-C的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數y=x•e-x在x∈[2，4]上的最小值為（　�。�
A、0
B、
1
e
C、
4
e4
D、
2
e2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△ABC中線AD=2，設P為AD的中點，若
PB
•
PC
=-3，則
AB
•
AC
=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（1，2），
b
=（1，1），且向量
a
與
a
+m
b
垂直，則m=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設
a
=（3，-sin2x），
b
=（cos2x，
3
），f（x）=
a
•
b

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值及取最大值時x的集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△ABC滿足|AB|=4，O是△ABC所在平面內一點，滿足
OA
2=
OB
2=
OC
2，且
OA
+
OB
=λ
AC
，λ∈R，則
BO
•
BA
=（　�。�
A、8
2
B、8
C、4
2
D、4

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列兩個條件：
（1）f（
x
+1）=x+2
x

（2）f（x）為二次函數且f（0）=3，f（x+2）-f（x）=4x+2，
試分別求出f（x）的解析式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=f（x）的定義域是[0，
1
4
），則函數y=f（sin2x）的定義域為
 
．

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