Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+6}$．
（1）若f（x）＞k的解集為{x|x＜-3或x＞-2}，則k的值等于-$\frac{2}{5}$；
（2）對任意x＞0，f（x）≤t恒成立，則t的取值范圍是[$\frac{\sqrt{6}}{6}$，+∞）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式和方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程進(jìn)行求解即可．
（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等等價(jià)于t≥$\frac{2x}{{x}^{2}+6}$=$\frac{2}{x+\frac{6}{x}}$恒成立，根據(jù)基本不等式即可求出．

解答 解：（1）：f（x）＞k?kx²-2x+6k＜0．
由已知{x|x＜-3，或x＞-2}是其解集，
得kx²-2x+6k=0的兩根是-3，-2．
由根與系數(shù)的關(guān)系可知（-2）+（-3）=$\frac{2}{k}$，
解得k=-$\frac{2}{5}$，
（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等價(jià)于t≥$\frac{2x}{{x}^{2}+6}$=$\frac{2}{x+\frac{6}{x}}$恒成立，
∵x+$\frac{6}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{6}{x}}$=2$\sqrt{6}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{6}$時(shí)取等號(hào)，
∴t≥$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故答案為：（1）：-$\frac{2}{5}$，（2）：[$\frac{\sqrt{6}}{6}$，+∞）

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的應(yīng)用以及不等式恒成立的問題，根據(jù)不等式的解集和方程的根之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題