Question

已知函數(shù)，在上的減函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)（1,f（1））處的切線方程；
(Ⅱ)若在上恒成立，求的取值范圍；
(Ⅲ)關(guān)于的方程()有兩個(gè)根(無(wú)理數(shù)e=2.71828)，求m的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）求出即得在點(diǎn)（1,f（1））處的切線方程.
（Ⅱ）在上恒成立，則.
利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，再解不等式即可得的取值范圍.
（Ⅲ）方程可化為，即.
令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，而這又可用導(dǎo)數(shù)解決.
試題解析：（Ⅰ）∵,∴,                 1分
∴,                             2分
∴在點(diǎn)（1, f（1））處的切線方程為，即；    3分
（Ⅱ）∵，∴,
在上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，         4分
∴在上恒成立，
                              5分
在上單調(diào)遞減，∴
∵在上恒成立，
∴只需恒成立，                   6分
∴，
∵，∴，
∴；                          7分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程為，
設(shè),則方程根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) 8分
∵,                      9分
當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
在和上為減函數(shù)，
在上為增函數(shù),在上為減函數(shù)，
在的最大值為，               11分
又，，
方程有兩根滿足：，                    12分
即時(shí)，原方程有兩解                   14分