【題目】已知橢圓: ()經(jīng)過點,且兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)動直線: (, )交橢圓于、兩點,試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點,使得以為直徑的圓恒過點.若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)在坐標(biāo)平面上存在一個定點滿足條件.
【解析】試題分析:
(1)由題設(shè)知a= ,所以 ,橢圓經(jīng)過點P(1, ),代入可得b=1,a=,由此可知所求橢圓方程
(2)首先求出動直線過(0,﹣)點.當(dāng)l與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程:x2+(y+)2=;當(dāng)l與y軸平行時,以AB為直徑的圓的方程:x2+y2=1.由.由此入手可求出點T的坐標(biāo).
解:
(1)∵橢圓: ()的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,
∴,∴
又∵橢圓經(jīng)過點,代入可得.
∴,故所求橢圓方程為.
(2)首先求出動直線過點.
當(dāng)與軸平行時,以為直徑的圓的方程:
當(dāng)與軸平行時,以為直徑的圓的方程:
由解得
即兩圓相切于點,因此,所求的點如果存在,只能是,事實上,點就是所求的點.
證明如下:
當(dāng)直線垂直于軸時,以為直徑的圓過點
當(dāng)直線不垂直于軸,可設(shè)直線:
由消去得:
記點、,則
又因為,
所以
所以,即以為直徑的圓恒過點
所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點滿足條件.
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【題目】已知集合A=[2,log2t],集合B={x|y= },
(1)對于區(qū)間[a,b],定義此區(qū)間的“長度”為b﹣a,若A的區(qū)間“長度”為3,試求實數(shù)t的值.
(2)若AB,試求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分) 已知集合在平面直角坐標(biāo)系中,點M的坐標(biāo)為(x,y) ,其中。
(1)求點M不在x軸上的概率;
(2)求點M正好落在區(qū)域上的概率。
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【題目】某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件,按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位:mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品.從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件,量其內(nèi)徑尺寸,得結(jié)果如下表:
甲廠:
分組 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
頻數(shù) | 12 | 63 | 86 | 182 | 92 | 61 | 4 |
乙廠:
分組 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
頻數(shù) | 29 | 71 | 85 | 159 | 76 | 62 | 18 |
(1)試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率;
(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表,并問是否有的把握認(rèn)為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.
甲 廠 | 乙 廠 | 合計 | |
優(yōu)質(zhì)品 | |||
非優(yōu)質(zhì)品 | |||
合計 |
附:
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【題目】定義:如果函數(shù)f(x)在[a,b]上存在x1 , x2(a<x1<x2<b)滿足f′(x1)= ,f′(x2) ,則稱函數(shù)f(x)是[a,b]上的“雙中值函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x3﹣x2+a是[0,a]上“雙中值函數(shù)”,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.( , )
B.(0,1)
C.( ,1)
D.( ,1)
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【題目】已知在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠BCD=60°,側(cè)面SAB是正三角形,且面SAB⊥面ABCD,F(xiàn)為SD的中點.
(1)證明:SB∥面ACF;
(2)求面SBC與面SAD所成銳二面角的余弦值.
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)過點A(﹣ , ),離心率為 ,點F1 , F2分別為其左右焦點.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若y2=4x上存在兩個點M,N,橢圓上有兩個點P,Q滿足,M,N,F(xiàn)2三點共線,P,Q,F(xiàn)2三點共線,且PQ⊥MN.求四邊形PMQN面積的最小值.
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【題目】給出三種函數(shù)模型:f(x)=xn(n>0),g(x)=ax(a>1)和h(x)=logax(a>1).根據(jù)它們增長的快慢,則一定存在正實數(shù)x0 , 當(dāng)x>x0時,就有( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.h(x)>g(x)>f(x)
C.f(x)>h(x)>g(x)
D.g(x)>f(x)>h(x)
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【題目】若(2x+ )100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100 , 則(a0+a2+a4+…+a100)2﹣(a1+a3+a5+…+a99)2的值為( )
A.1
B.﹣1
C.0
D.2
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