Question

已知橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的一個頂點為M（0，1），離心率e=

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=3．求證：直線AB過定點，并求出直線AB的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）依題意可得

b=1 1- b2 a2 = 6 3

，解得即可；
（II）設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用斜率計算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，得

b=1 1- b2 a2 = 6 3

，解得

a= 3 b=1

，
∴橢圓方程為

x2

3

+y²=1．
（Ⅱ）顯然直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，得（3k²+1）x²+6ktx+3（t²-1）=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

-6kt

3k2+1

，x₁•x₂=

3(t2-1)

3k2+1

，
由k₁+k₂=3，得

y1-1

x1

+

y2-1

x2

=3，①
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，②
由①，②得2k+（t-1）•

2kt

1-t2

=3，化簡，得t=

2k-3

3

．
則直線AB的方程為y=kx+

2k-3

3

=k（x+

2

3

）-1，
∴直線AB過定點（-

2

3

，-1）．
又由于直線AB和橢圓有兩個不同的交點，
則△=36k²t²-12（3k²+1）（t²-1）＞0，
又t=

2k-3

3

，解得直線AB的斜率的取值范圍是k＜-

12

23

或k＞0．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、直線過定點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．