(理科做)已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b定義在區(qū)間[-1,1]上,且f(0)=f(1).又P、Q是其圖象上任意兩點(diǎn)(x1≠x2).
(1)求證:f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,b)成中心對(duì)稱圖形;
(2)設(shè)直線PQ的斜率為k,求證:|k|<2;
(3)若0≤x1<x2≤1,求證:|y1-y2|<1.
【答案】
分析:(1)由于f(0)=f(1)得到b=1+a+b得a=-1,得出f(x)=x
3-x+b的圖象可由y=x
3-x的圖象向上(或下)平移b(或-b)個(gè)單位二得到. 又y=x
3-x是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形,最后得出f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,b)成中心對(duì)稱圖形.
(2)先由點(diǎn)P(x
1,y
1)、Q(x
2,y
2)在f(x)=x
3-x+b的圖象上.
. 又x
1、x
2∈[-1,1],利用不等式的性質(zhì)即可證得|k|=|x
12+x
22+x
1x
2-1|<2
(3)根據(jù)0≤x
1<x
2≤1,且|y
1-y
2|<2|x
1-x
2|=-2(x
1-x
2),又|y
1-y
2|=|f(x
1)-f(x
2)|=|f(x
1)-f(0)+f(1)-f(x
2)|利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可證得|y
1-y
2|<1.
解答:解:(1)f(0)=f(1),∴b=1+a+b得a=-1.(1分)
f(x)=x
3-x+b的圖象可由y=x
3-x的圖象向上(或下)平移b(或-b)個(gè)單位二得到. (3分)
又y=x
3-x是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形,f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,b)成中心對(duì)稱圖形. (5分)
(2)∵點(diǎn)P(x
1,y
1)、Q(x
2,y
2)在f(x)=x
3-x+b的圖象上,
. (7分)
又x
1、x
2∈[-1,1],x
1≠x
2∵0<x
12+x
22+x
1x
2<3,從而-1<x
12+x
22+x
1x
2-1<2
∴|k|=|x
12+x
22+x
1x
2-1|<2 (11分)
(3)∵0≤x
1<x
2≤1,且|y
1-y
2|<2|x
1-x
2|=-2(x
1-x
2),①
又|y
1-y
2|=|f(x
1)-f(x
2)|=|f(x
1)-f(0)+f(1)-f(x
2)|≤|f(x
1)-f(0)|+|f(1)-f(x
2)|≤2|x
1-0|+2|x
2-1|=2(x
1-0)+2(1-x
2)=2(x
1-x
2)+2②
①+②得2|y
1-y
2|<2,故|y
1-y
2|<1(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)圖象中心對(duì)稱的性質(zhì)的應(yīng)用,即函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是(a,b),則有2b=f(a+x)+f(a-x)對(duì)任意x均成立,由此恒等式進(jìn)行求值.