精英家教網(wǎng)P是以F1、F2為焦點的橢圓上一點，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求證：橢圓的離心率為e=2cosα-1．
分析：依據(jù)橢圓的定義2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，又由e=
2c
2a
，在△PF1F2中解此三角即可得證．
解答：證明：在△PF1F2中，由正弦定理知
|PF1|
sin2α
=
|PF2|
sinα
=
|F1F2|
sin(π-3α)
．
由比例的性質(zhì)得
|F1F2|
sin3α
=
|PF1|+|PF2|
sin2α+sinα
?e=
|F1F2|
|PF1|+|PF2|
=
sin3α
sin2α+sinα
=
sinαcos2α+cosαsin2α
sinα+2sinαcos α

=
sinα(2cos2α-1)+2sinα•cos2α
sin(1+2cosα)

=
4cos2α-1
2cosα+1
=2cosα-1．
點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．恰當(dāng)?shù)乩帽壤男再|(zhì)有事半功倍之效．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P是以F1、F2為焦點的橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1 (a＞b＞0)上的任一點，∠F1PF2最大值是120°，求橢圓離心率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的一點，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2=
1
2
，則此橢圓的離心率為（　�。�
A、
1
2
B、
2
3
C、
1
3
D、
5
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1上的一點，若
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=2，則此雙曲線的離心率為（　�。�
A、
5
B、5
C、2
5
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的一點，且
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
1
2
，則此橢圓的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點，且
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
1
2
，則該橢圓的離心率等于
5
3
5
3
．

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