Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞0，b＞0）的離心率為 ，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N．求證：|AN||BM|為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得e= = ，
又△OAB的面積為1，可得 ab=1，
且a2﹣b2=c2 ，
解得a=2，b=1，c= ，
可得橢圓C的方程為 +y2=1；
（Ⅱ）證法一：設(shè)橢圓上點(diǎn)P（x0 ， y0），
可得x02+4y02=4，
直線PA：y= （x﹣2），令x=0，可得y=﹣ ，
則|BM|=|1+ |；
直線PB：y= x+1，令y=0，可得x=﹣ ，
則|AN|=|2+ |．
可得|AN||BM|=|2+ ||1+ |
=| |=| |
=| |=4，
即有|AN||BM|為定值4．
證法二：設(shè)P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
直線PA：y= （x﹣2），令x=0，可得y=﹣ ，
則|BM|=| |；
直線PB：y= x+1，令y=0，可得x=﹣ ，
則|AN|=| |．
即有|AN||BM|=| || |
=2| |
=2| |=4．
則|AN||BM|為定值4
【解析】（Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a=2，b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）方法一、設(shè)橢圓上點(diǎn)P（x0 ， y0），可得x02+4y02=4，求出直線PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直線PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化簡(jiǎn)整理，即可得到|AN||BM|為定值4．
方法二、設(shè)P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直線PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直線PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，運(yùn)用同角的平方關(guān)系，化簡(jiǎn)整理，即可得到|AN||BM|為定值4．
【考點(diǎn)精析】掌握橢圓的概念和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的根本，需要知道平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．