【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=81,an= (k∈N*),則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為
【答案】127
【解析】解:∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=81,an= (k∈N*),∴n=2k(k∈N*)時(shí),a2k=﹣1+log3a2k﹣1 , a2=3;n=2k+1時(shí)a2k+1= .
∴a2k+1= = ,a2k=﹣1+a2k﹣2 .
∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,公比為 ;偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,公差為﹣1.
∴Sn=S2k=(a1+a3+…+a2k﹣1)+(a2+a4+…+a2k)
= +3k+
= ﹣ + ≤127.(k=5時(shí)取等號(hào)).
Sn=S2k﹣1=S2k﹣2+a2k﹣1= ﹣ + + ≤111,k=5時(shí)取等號(hào).
綜上可得:數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為127.
所以答案是:127.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+ ,曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處得切線(xiàn)方程為y=e(x﹣1)+2.
(Ⅰ)求a、b;
(Ⅱ)證明:f(x)>1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合M={x|9x﹣43x+1+27=0},N={x|log2(x+1)+log2x=log26},則M、N的關(guān)系是( )
A.MN
B.NM
C.M=N
D.不確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( ).
A. ,“”是“”的必要不充分條件
B. “且為真命題”是“或為真命題” 的必要不充分條件
C. 命題“,使得”的否定是:“”
D. 命題:“”,則是真命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間如下:
組號(hào) | 第一組 | 第二組 | 第三組 | 第四組 | 第五組 |
分組 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
(1)求圖中a的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分;
(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生,將該樣本看成一個(gè)總體,從中隨機(jī)抽取2名,求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)列{ }中,已知,,,則等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
將數(shù)列的等式關(guān)系兩邊取倒數(shù)是公差為的等差數(shù)列,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到數(shù)列通項(xiàng),再取倒數(shù)即可得到數(shù)列{}的通項(xiàng).
將等式兩邊取倒數(shù)得到,是公差為的等差數(shù)列,=,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法得到,故=.
故答案為:B.
【點(diǎn)睛】
這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見(jiàn)的已知和的關(guān)系,求表達(dá)式,一般是寫(xiě)出做差得通項(xiàng),但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用;還有構(gòu)造新數(shù)列的方法,取倒數(shù),取對(duì)數(shù)的方法等等.
【題型】單選題
【結(jié)束】
9
【題目】在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長(zhǎng)x(單位m)的取值范圍是 ( )
(A) [15,20](B) [12,25] (C) [10,30](D) [20,30]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是遞增數(shù)列,且對(duì),都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由{an}是遞增數(shù)列,得到an+1>an,再由“an=n2+λn恒成立”轉(zhuǎn)化為“λ>﹣2n﹣1對(duì)于n∈N*恒成立”求解.
∵{an}是遞增數(shù)列,
∴an+1>an,
∵an=n2+λn恒成立
即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,
∴λ>﹣2n﹣1對(duì)于n∈N*恒成立.
而﹣2n﹣1在n=1時(shí)取得最大值﹣3,
∴λ>﹣3,
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查由數(shù)列的單調(diào)性來(lái)構(gòu)造不等式,解決恒成立問(wèn)題.研究數(shù)列單調(diào)性的方法有:比較相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系,將an+1和an做差與0比較,即可得到數(shù)列的單調(diào)性;研究數(shù)列通項(xiàng)即數(shù)列表達(dá)式的單調(diào)性.
【題型】單選題
【結(jié)束】
13
【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,且an=an-1+2n1 (n≥2 ),則a20=________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,{bn}為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.
(1)求an與bn;
(2)求
【答案】(1)an=2n+1,bn=8n-1.(2)
【解析】
(1)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,由題設(shè)條件建立方程組,解方程組得到d和q的值,從而求出an與bn;(2)由Sn=n(n+2),知,由此可求出的值.
(1)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,則d為正數(shù),
an=3+(n-1)d,bn=qn-1,
依題意有,
解得或 (舍去).
故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.
(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2).
所以++…+=+++…+
= (1-+-+-+…+-)
= (1+--)
=-.
【點(diǎn)睛】
這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法;數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見(jiàn)的已知和的關(guān)系,求表達(dá)式,一般是寫(xiě)出做差得通項(xiàng),但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用;數(shù)列求和常用法有:錯(cuò)位相減,裂項(xiàng)求和,分組求和等。
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.
(1)當(dāng)n∈N+,求f(n)的表達(dá)式;
(2)設(shè)an=nf(n),n∈N+,求證:a1+a2+…+an<2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸)、一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過(guò)抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中a的值;
(Ⅱ)設(shè)該市有30萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)的值,并說(shuō)明理由.
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