已知函數(shù)f(x)=ln x-.
(1)若a>0,試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為,求a的值;
(3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.
(1)f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)
(2)a=-.
(3)a≥-1時,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立
解析試題分析:解 (1)由題意f(x)的定義域為(0,+∞),且f′(x)=+=.因為a>0,所以f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù). 3分
(2)由(1)可知,f′(x)=.
①若a≥-1,則x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此時f(x)在[1,e]上為增函數(shù),
所以f(x)min=f(1)=-a=,所以a=- (舍去). 5分
②若a≤-e,則x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此時f(x)在[1,e]上為減函數(shù),
所以f(x)min=f(e)=1-=⇒a=- (舍去). 7分
③若-e<a<-1,令f′(x)=0得x=-a,當(dāng)1<x<-a時,f′(x)<0,所以f(x)在[1,-a]上為減函數(shù);當(dāng)-a<x<e時,f′(x)>0,所以f(x)在[-a,e]上為增函數(shù),所以f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=⇒a=-.
綜上所述,a=-. 9分
(3)因為f(x)<x2,所以ln x-<x2.又x>0,所以a>xln x-x3.
令g(x)=xln x-x3,
h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,h′(x)=-6x=. 11分
因為x∈(1,+∞)時,h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).
所以h(x)<h(1)=-2<0,即g′(x)<0,
所以g(x)在[1,+∞)上也是減函數(shù),則g(x)<g(1)=-1,
所以a≥-1時,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立. 13分
考點:導(dǎo)數(shù)的運用
點評:主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用,屬于基礎(chǔ)題。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)=,
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(2)若關(guān)于的不等式對一切(其中)都成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在正實數(shù),使?若不存在,說明理由;若存在,求取值的范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)在(1,2)上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù)。
求的值;
當(dāng)時,若在內(nèi)恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
求證:方程在內(nèi)有唯一解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件:
① 在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);
② 是偶函數(shù);
③ 在處的切線與直線垂直.
(I)求函數(shù)的解析式;
(II)設(shè),若存在,使,求實數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(2)對任意,在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)a=﹣2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若g(x)= +在1,+∞)上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=,其中a>0,
(Ⅰ)若a=1,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)若在區(qū)間上,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍。
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