Question

12．以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸，已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²（1+sin²θ）=8，C₃的極坐標(biāo)方程為θ=α，α∈[0，π），ρ∈R，
（1）若C₁與C₃的一個(gè)公共點(diǎn)為A（異于O點(diǎn)），且|OA|=$\sqrt{3}$，求α；
（2）若C₁與C₃的一個(gè)公共點(diǎn)為A（異于O點(diǎn)），C₂與C₃的一個(gè)公共點(diǎn)為B，求|OA|•|OB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁的參數(shù)方程求得直角坐標(biāo)方程，即可求得極坐標(biāo)方程，與曲線C₃聯(lián)立，即可求得ρ₁，ρ₂，由|OA|=丨ρ₁-ρ₂丨，即可求得α；
（2）聯(lián)立C₁與C₃的極坐標(biāo)方程．即可求得丨OB丨，則|OA|•|OB|=丨2cosα丨$\sqrt{\frac{8}{1+si{n}^{2}α}}$，化簡(jiǎn)即可求得|OA|•|OB|的取值范圍．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），則直角方程為（x-1）²+y²=1，
極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，聯(lián)立極坐標(biāo)方程$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{θ=α}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cosα}\\{{ρ}_{2}=0}\end{array}\right.$，
由|OA|=$\sqrt{3}$=丨ρ₁-ρ₂丨=丨2cosα丨，
解得cosα=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則α=$\frac{π}{6}$或α=$\frac{5π}{6}$．   （5分）
（2）聯(lián)立C₁與C₃的極坐標(biāo)方程為$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}（1+si{n}^{2}θ）=8}\\{θ=α}\end{array}\right.$，丨OB丨=丨ρ丨=$\sqrt{\frac{8}{1+si{n}^{2}α}}$，
當(dāng)α=$\frac{π}{2}$時(shí)，O與A重合，所以α≠$\frac{π}{2}$，則
|OA|•|OB|=丨2cosα丨$\sqrt{\frac{8}{1+si{n}^{2}α}}$=4$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{co{s}^{2}θ}{1+si{n}^{2}θ}}$=4$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{co{s}^{2}α}{2-co{s}^{2}α}}$=4$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{1}{\frac{2}{co{s}^{2}θ}-1}}$，
∴|OA|•|OB|∈（0，4$\sqrt{2}$]，
|OA|•|OB|的取值范圍∈（0，4$\sqrt{2}$]．             （10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．