Question

25、已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，B₁C₁的中點(diǎn)．下列命題正確的是

②③④

（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．
①以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的四個(gè)面最多只有三個(gè)面是直角三角形；
②P在直線FG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP⊥DE；
③Q在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A-D₁QC的體積不變；
④M是正方體的面A₁B₁C₁D₁內(nèi)到點(diǎn)D和 C₁距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是一條線段．

Answer 1

分析：畫(huà)出正方體圖形，
①以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的四個(gè)面最多只有三個(gè)面是直角三角形；作出反例否定①；
②P在直線FG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP⊥DE；如圖（2）DE⊥平面FGP，可得結(jié)論；
③Q在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A-D₁QC的體積不變；如圖（2）三角形AD1Q面積不變，C到平面距離不變，體積為定值．

解答：解：畫(huà)出圖形，如圖（1）四個(gè)面都是直角三角形，①不正確．
②P在直線FG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP⊥DE；如圖（2）DE⊥平面FGP，可得結(jié)論；正確．
③Q在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A-D₁QC的體積不變；如圖（2）三角形AD1Q面積不變，
C到平面距離不變，體積為定值．
④M是正方體的面A₁B₁C₁D₁內(nèi)到點(diǎn)D和 C₁距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是一條線段．線段A₁D₁滿足題意．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，四種命題的真假關(guān)系，軌跡方程，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題．