【題目】如圖，正四面體ABCD中，異面直線AB與CD所成的角為_______，直線AB與底面BCD所成角的余弦值為_______．

【答案】90°

【解析】

取CD中點E，連接AE、BE，作AF⊥BE于點F，

空1：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進行求解即可；

空2：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理，結(jié)合線面角定義、銳角三角函數(shù)定義進行求解即可.

取CD中點E，連接AE、BE，作AF⊥BE于點F.

空1：因為，所以CD⊥AE，CD⊥BE，

AEBE＝E，平面ABE，∴CD⊥平面ABE，平面ABE，

∴CD⊥AB，∴異面直線AB與CD所成的角為90°；

空2：∵CD⊥平面ABE，平面ABE，∴CD⊥AF，又AF⊥BE，

平面BCD，∴AF⊥平面BCD，

∴∠ABF是直線AB與底面BCD所成角，

正四面體ABCD中，因為AF⊥平面BCD，所以點F是三角形BCD的中心，

設正四面體的棱長為a，所以

則．

故答案為：90°；

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓與軸相切于點（0，3），圓心在經(jīng)過點（2，1）與點（﹣2，﹣3）的直線上．

（1）求圓的方程；

（2）圓與圓：相交于M、N兩點，求兩圓的公共弦MN的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為發(fā)揮體育在核心素養(yǎng)時代的獨特育人價值，越來越多的中學已將某些體育項目納入到學生的必修課程，甚至關(guān)系到是否能拿到畢業(yè)證.某中學計劃在高一年級開設游泳課程，為了解學生對游泳的興趣，某數(shù)學研究性學習小組隨機從該校高一年級學生中抽取了100人進行調(diào)查，其中男生60人，且抽取的男生中對游泳有興趣的占，而抽取的女生中有15人表示對游泳沒有興趣.

（1）試完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為“對游泳是否有興趣與性別有關(guān)”？

有興趣

沒興趣

合計

男生

女生

合計

（2）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的學生，其中3名對游泳有興趣，現(xiàn)在從這6名學生中隨機抽取3人，求至少有2人對游泳有興趣的概率.

（3）該研究性學習小組在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，對游泳有興趣的學生中有部分曾在市級和市級以上游泳比賽中獲獎，如下表所示.若從高一（8）班和高一（9）班獲獎學生中各隨機選取2人進行跟蹤調(diào)查，記選中的4人中市級以上游泳比賽獲獎的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.

班級

市級比賽

獲獎人數(shù)

2

2

3

3

4

4

3

3

4

2

市級以上比賽獲獎人數(shù)

2

2

1

0

2

3

3

2

1

2

0.500

0.400

0.250

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（1）已知函數(shù)，函數(shù)的導函數(shù)為.

①求函數(shù)的定義域；

②求函數(shù)的零點個數(shù).

（2）給出如下定義：如果是曲線和曲線的公共點，并且曲線在點處的切線與曲線在點處的切線重合，則稱曲線與曲線在點處相切，點叫曲線和曲線的一個切點.試判斷曲線：與曲線：是否在某點處相切？若是，求出所有切點的坐標；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在正方體中，點是棱上的一個動點，平面交棱于點．給出下列命題：

①存在點，使得//平面；

②對于任意的點，平面平面；

③存在點，使得平面；

④對于任意的點，四棱錐的體積均不變.

其中正確命題的序號是______．（寫出所有正確命題的序號）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱柱中，底面是矩形，且， ， ，若為的中點，且．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）線段上是否存在一點，使得二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓：的離心率為，橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過的直線與橢圓交于、兩點，且兩點與左右頂點不重合，若，求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在中，、所對的邊長為、，，.

（1）若，求；

（2）討論使有一解、兩解、無解時的取值情況.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過且與軸垂直的直線被橢圓和圓截得的弦長分別為2和.

（1）求的標準方程；

（2）已知動直線與拋物線：相切（切點異于原點），且與橢圓相交于，兩點，問：橢圓上是否存在點，使得，若存在求出滿足條件的所有點的坐標，若不存在，請說明理由.

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