已知數(shù)列{a
n}與{b
n}滿足b
n+1a
n+b
na
n+1=(﹣2)
n+1,b
n=
,n∈N
*,且a
1=2.
(1)求a
2,a
3的值
(2)設(shè)c
n=a
2n+1﹣a
2n﹣1,n∈N
*,證明{c
n}是等比數(shù)列
(3)設(shè)S
n為{a
n}的前n項(xiàng)和,證明
+
+…+
+
≤n﹣
(n∈N
*)
(1)a
2=﹣
a
3=8(2)(3)見解析
試題分析:(1)推出b
n的表達(dá)式,分別當(dāng)n=1時,求出a
2=﹣
;當(dāng)n=2時,解出a
3=8;
(2)設(shè)c
n=a
2n+1﹣a
2n﹣1,n∈N
*,利用等比數(shù)列的定義,證明{c
n}是等比數(shù)列;
(3)求出S
2n,a
2n,S
2n﹣1,a
2n﹣1,求出
+
的表達(dá)式,然后求出
+
+…+
+
的表達(dá)式,利用放縮法證明結(jié)果.
(1)解:由b
n=
,(n∈N
*)可得b
n=
又b
n+1a
n+b
na
n+1=(﹣2)
n+1,
當(dāng)n=1時,a
1+2a
2=﹣1,可得由a
1=2,a
2=﹣
;
當(dāng)n=2時,2a
2+a
3=5可得a
3=8;
(2)證明:對任意n∈N
*,a
2n﹣1+2a
2n=﹣2
2n﹣1+1…①
2a
2n+a
2n+1=2
2n+1…②
②﹣①,得a
2n+1﹣a
2n﹣1=3×2
2n﹣1,即:c
n=3×2
2n﹣1,于是
所以{c
n}是等比數(shù)列.
(3)證明:
a1=2,由(2)知,當(dāng)k∈N
*且k≥2時,
a
2k﹣1=a
1+(a
3﹣a
1)+(a
5﹣a
3)+(a
7﹣a
5)+…+(a
2k﹣1﹣a
2k﹣3)
=2+3(2+2
3+2
5+…+2
2k﹣3)=2+3×
=2
2k﹣1,
故對任意的k∈N
*,a
2k﹣1=2
2k﹣1.
由①得2
2k﹣1+2a
2k=﹣2
2k﹣1+1,所以
k∈N
*,
因此,
于是,
.
故
=
=
所以,對任意的n∈N
*,
+
+…+
+
=(
+
)+…+(
+
)
=
=
=n﹣
≤n﹣
﹣
=n﹣
(n∈N
*)
點(diǎn)評:本題考查等比數(shù)列的定義,等比數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識,考查計(jì)算能力、推理論證能力、綜合發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力以及分類討論思想.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
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數(shù)列
中,
,前
項(xiàng)的和是
,且
,
.
(1)求出
(2)求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(3)求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(2013·天津高考)已知首項(xiàng)為
的等比數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)和為S
n(n∈N
*),且-2S
2,S
3,4S
4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式.
(2)證明S
n+
≤
(n∈N
*).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
[2014·河北質(zhì)檢]已知數(shù)列{a
n}滿足a
1=5,a
na
n+1=2
n,則
=( )
A.2 | B.4 | C.5 | D. |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,且對任意
,有
,則
;
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)等比數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,已知
成等差數(shù)列,(1)求數(shù)列
的公比
,(2)若
,求
,并討論
的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知三個數(shù)
成等比數(shù)列,該數(shù)列公比q= ___________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
在等比數(shù)列
中,
,
,則
( )
A. | B. | C.8 | D.4 |
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