Question

已知點的序列A_n（x_n，0），n∈N，其中x₁=0，x₂=a（a＞0），A₃是線段A₁A₂的中點，A₄是線段A₂A₃的中點，…，A_n是線段A_n-2A_n-1的中點，…．
（I）寫出x_n與x_n-1、x_x-2之間的關(guān)系式（n≥3）；
（II）設(shè)a_n=x_n+1-x_n，計算a₁，a₂，a₃，由此推測數(shù)列{a_n}的通項公式，并加以證明；
（III）求．

Answer 1

解：（I）當(dāng)n≥3時，
（II）a₁=x₂-x₁=a．
由此推測．a（n∈N）
因為a₁=a＞0，且
=（n≥2）
所以．
（III）解：當(dāng)n≥3時，有x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=a_n-1+a_n-2+…+a₁，
由（II）知{a_n}是公比為的等比數(shù)列，所以．
分析：（I）根據(jù)題意，A_n是線段A_n-2A_n-1的中點，可得x_n與x_n-1、x_n-2之間的關(guān)系式，
（II）由題意知a₁=a，a₂=-a，a₃=a，由此推測：a_n=（-）^n-1a（n∈N^*）再進行證明．
（III）首先求出x_n，然后根據(jù)（II）知{a_n}是公比為的等比數(shù)列，求出結(jié)果．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用以及數(shù)列的極限，解題時要注意公式的靈活運用．屬于中檔題．