已知函數(shù)f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù),且對于任意實數(shù)a,b∈R,滿足:f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an=(n∈N*),bn=(n∈N*).
考察下列結(jié)論:
①f(0)=f(1);②f(x)為偶函數(shù);
③數(shù)列{an}為等比數(shù)列;
④數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.
其中正確的結(jié)論共有(　　)
A．1個B．2個C．3個D．4個
C
根據(jù)所給的四個條件,逐條驗證即可.注意②中用特殊值驗證,③④用定義判斷.
∵f(0)=f(0×0)=0,
f(1)=f(1×1)=2f(1),
∴f(1)=0,①正確;
又f(1)=f((-1)×(-1))=-2f(-1),
∴f(-1)=0,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2),
故f(x)不是偶函數(shù),故②錯;
∵f(2n)=f(2·2n-1)=2f(2n-1)+2n-1f(2)=2f(2n-1)+2n,
∴=+1,
即bn=bn-1+1,
∴{bn}是等差數(shù)列,④正確;
b1==1,
bn=1+(n-1)·1=n,
f(2n)=2nbn=n·2n,
an==2n,
故數(shù)列{an}是等比數(shù)列,③正確.故選C.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)．
（1）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前項積為，
即，求；
（3）在（2）的條件下，記，求數(shù)列的前項和，并求使的的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

己知各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項和S4=14，且a1，a3，a7成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)Tn為數(shù)列的前n項和，若Tn≤¨對恒成立，求實數(shù)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知等差數(shù)列的首項為，公差為，等比數(shù)列的首項為，公比為，.
（1）求數(shù)列與的通項公式；
（2）設(shè)第個正方形的邊長為，求前個正方形的面積之和.
（注：表示與的最小值.）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝－62，S6＝－75，求：
(1){an}的通項公式an及其前n項和Sn；
(2)|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a14|.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,首項為a1,且,an,Sn成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若=,設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知數(shù)列{2n－1·an}的前n項和Sn＝1－.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列的前n項和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,則通項an=　　　.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a3+a17=10,則S19=(　　)
A．55B．95C．100D．不能確定

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