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設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由。

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解，待定系數法求解，并且考查了圓與橢圓的位置關系的研究，利用恒有交點，聯(lián)立方程組和韋達定理一起表示向量OA,OB，并證明垂直。

 

【答案】

解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點,

所以解得所以橢圓E的方程為

（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,  

則△=,即

,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，

（I）求橢圓E的方程；

（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。

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科目：高中數學 來源： 題型：

(2009山東卷理) （本小題滿分14分）

設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N (,1)兩點，O為坐標原點，

（I）求橢圓E的方程；

（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。

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科目：高中數學 來源：2014屆河南省高二上學期期末考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）

設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交A,B且

？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由。

 

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科目：高中數學 來源：2012屆河北省高三下學期理科數學試卷 題型：解答題

設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，

（I）求橢圓E的方程；

（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由

 

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科目：高中數學 來源：2013屆江西省、樟樹中學、高安中學、高二上學期期末文科數學 題型：解答題

設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；

（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。

 

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