Question

數(shù)列{b_n}是遞增的等比數(shù)列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（I）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若a_n=log₂b_n+3，且a₁+a₂+a₃+…+a_m≤42，求m的最大值．

Answer 1

解：（I）由知b₁，b₃是方程x²-5x+4=0的兩根，
注意到b_n+1＞b_n得b₁=3，b₃=4
∴b₂²=b₁b₃=4得b₂=2．
∴b₁=1，b₂=2，b₃=4
∴等比數(shù)列{b_n}的公比為=2，
∴b_n=b₁q^n-1=2^n-1；
（II）a_n=log₂b_n+3=log₂a^n-1+3=n-1+3=n+2，
∵a_n+1-a_n=[（n+1）+2]-[n+2]=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列．
a₁+a₂+a₂+…+a_m=m×3+×1=3m+
整理得m²+5m-84≤0，解得-12≤m≤7，
∴m的最大值是7．
分析：（I）由b₁+b₃=5，b₁b₃=4，根據(jù)韋達(dá)定理得到b₁，b₃是一個方程的兩根，寫出這個方程，求出方程的解即可得到滿足題意的b₁和b₃的解，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得b₂²=b₁b₃求出b₂的值，然后根據(jù)求出的前三項(xiàng)得到等比數(shù)列的公比，根據(jù)首項(xiàng)和公比寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（II）把第一問求得的數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式代入到a_n=log₂b_n+3中，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則化簡可得a_n的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，然后根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出數(shù)列的前m項(xiàng)和的公式，把前m項(xiàng)和的公式代入已知的不等式中，得到關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍，根據(jù)范圍找出m的最大值即可．
點(diǎn)評：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡求值，是一道綜合題．