Question

如圖是一個(gè)半圓形湖面景點(diǎn)的示意圖，已知AB為直徑，且AB=2km，O為圓心，C為圓周上靠近A的一點(diǎn)，D為圓周上靠近B的一點(diǎn)，且CD∥AB，現(xiàn)在準(zhǔn)備從A經(jīng)過C到D建造一條觀光路線，其中A到C是圓弧

AC

，C到D是線段CD，設(shè)∠AOC=x rad，觀光路線總長(zhǎng)為y km．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；
（2）求觀光路線總長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意得y=1•x+1•sin（

π

2

-x）×2，化簡(jiǎn)并寫出定義域（0＜x＜

π

2

）；
（2）求導(dǎo)y′=1-2cos（

π

2

-x）以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最大值．

解答： 解：（1）由題意得，
y=1•x+1•sin（

π

2

-x）×2
=x+2sin（

π

2

-x），（0＜x＜

π

2

）；
函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0＜x＜

π

2

}；
（2）y′=1-2cos（

π

2

-x），
令y′=0解得，x=

π

6

，
故當(dāng)x=

π

6

時(shí)，觀光路線總長(zhǎng)最大，
最大值為

π

6

+2×

3

2

=

π

6

+

3

（km）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，屬于中檔題．