Question

17．有甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)，求：
（1）5位同學(xué)站成一排，甲、戊不在兩端有多少種不同的排法？
（2）5位同學(xué)站成一排，要求甲乙必須相鄰，丙丁不能相鄰，有多少種不同的排法？
（3）將5位同學(xué)分配到三個(gè)班，每班至少一人，共有多少種不同的分配方法？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、甲、戊不在兩端，在中間的三個(gè)位置任選2個(gè)，安排甲、戊2人，②、將乙、丙、丁三人安排在剩下的三個(gè)位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）分3步進(jìn)行分析：①、將甲乙看成一個(gè)整體，考慮甲乙之間的順序，②、將這個(gè)整體與戊2人全排列，分析排好后的空位，③、在3個(gè)空位中任選2個(gè)，安排丙丁，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）分2步進(jìn)行分析：①、將5個(gè)同學(xué)分成3組，②、將分好的三組對(duì)應(yīng)三個(gè)班，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、甲、戊不在兩端，在中間的三個(gè)位置任選2個(gè)，安排甲、戊2人，有A₃²=6種排法，
②、將乙、丙、丁三人安排在剩下的三個(gè)位置，有A₃³=6種排法，
則甲、戊不在兩端有$A_3^2×A_3^3=36$種排法；
（2）分3步進(jìn)行分析：
①、將甲乙看成一個(gè)整體，考慮甲乙之間的順序，有A₂²=2種情況，
②、將這個(gè)整體與戊2人全排列，有A₂²=2種順序，排好后，有3個(gè)空位，
③、在3個(gè)空位中任選2個(gè)，安排丙丁，有A₃²=6種情況，
則共有2×2×6=24種不同的排列方法；
（3）分2步進(jìn)行分析：
①、將5個(gè)同學(xué)分成3組，
若分成1、1、3的三組，有$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{A}_{2}^{2}}$=10種分法，
若分成1、2、2的三組，有$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$=15種分法，
則一共有10+15=25種分組方法；
②、將分好的三組對(duì)應(yīng)三個(gè)班，有A₃³=6種情況，
則一共有25×6=150種不同的分配方法．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意常見問題的處理方法．（2）運(yùn)用捆綁法與插空法來分析相鄰與不相鄰問題，（3）注意分類討論的應(yīng)用．