Question

橢圓C：長軸為8離心率
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓C：長軸為8，離心率，知，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k（x-2），代入橢圓方程并整理得：（4k²+1）x²-8（2k²-k）x+4（2k-1）²-16=0，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，由M為AB的中點(diǎn)，知，由此能求出直線方程．
法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，1）為AB的中點(diǎn)，所以x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，用點(diǎn)差法能求出直線方程．
法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點(diǎn)為A（x，y），由于中點(diǎn)為M（2，1），則另一個交點(diǎn)為B（4-x，2-y），因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在橢圓上，所以有，由此能求出直線方程．
解答：解：（1）∵橢圓C：長軸為8，離心率，
∴，
∴，b=，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（6分）
（2）解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k（x-2），
代入橢圓方程并整理得：（4k²+1）x²-8（2k²-k）x+4（2k-1）²-16=0，
又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程的兩個根，
于是，
又M為AB的中點(diǎn)，所以，
解得，（5分）
故所求直線方程為x+2y-4=0．（2分）
解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
M（2，1）為AB的中點(diǎn)，
所以x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，
則，，
兩式相減得，
所以，
即，（5分）
故所求直線方程為x+2y-4=0．（2分）
解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點(diǎn)為A（x，y），
由于中點(diǎn)為M（2，1），
則另一個交點(diǎn)為B（4-x，2-y），
因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在橢圓上，
所以有，
兩式相減得x+2y-4=0，
由于過A、B的直線只有一條，（5分）
故所求直線方程為x+2y-4=0．（2分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和直線方程的求法，考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．