Question

已知向量

a

=(sinωx，2cosωx)，

b

=(cosωx，-

2 3

3

cosωx)（ω＞0），函數(shù)f(x)=

a

(

3

b

+

a

)-1，且函數(shù)f（x）的最小正周期為

π

2

．
（1）求ω的值；  
（2）設(shè)△ABC的三邊a、b、c滿足：b²=ac，且邊b所對的角為x，若方程f（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過數(shù)量積以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過周期求出ω的值．
（2）利用余弦定理求出x的范圍，然后求出相位的范圍，利用三角函數(shù)的值域求解即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

a

•(

3

b

+

a

)-1=(sinωx，2cosωx)•(sinωx+

3

cosωx，0)-1
=

3

2

sin•2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

…（5分）
∵T=

2π

2ω

=

π

2

，
∴ω=2…（6分）
（2）∵在△ABC中，cosx=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

…（8分）
∴0＜x≤

π

3

，

π

-6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

…（9分）
sin(4x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴sin(4x-

π

6

)-

1

2

∈[-1，

1

2

]．
∴f(x)=sin(4x-

π

6

)-

1

2

=k，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)k的取值范圍是：(-1，

1

2

)．        …（12分）

點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積，余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．