Question

【題目】已知無窮數(shù)列的前n項和為，記， ，…， 中奇數(shù)的個數(shù)為．

(Ⅰ)若= n，請寫出數(shù)列的前5項；

(Ⅱ)求證："為奇數(shù)， (i = 2,3,4,...）為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件；

(Ⅲ)若，i=1, 2, 3,…，求數(shù)列的通項公式.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）代入的值，即可求得， ， ， ， ．

（Ⅱ）根據(jù)題意，先證充分性和不必要性，分別作出證明．

（Ⅲ）分當(dāng)為奇數(shù)和當(dāng)為偶數(shù)，兩種情況進(jìn)而推導(dǎo)數(shù)列的通項公式．

試題解析：

（Ⅰ）解： ， ， ， ， ．

（Ⅱ）證明：（充分性）

因為為奇數(shù)， 為偶數(shù)，

所以，對于任意， 都為奇數(shù)．

所以．

所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．

（不必要性）

當(dāng)數(shù)列中只有是奇數(shù)，其余項都是偶數(shù)時， 為偶數(shù)， 均為奇數(shù)，

所以，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．

所以“為奇數(shù)， 為偶數(shù)”不是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的必要條件；

綜上所述，“為奇數(shù)， 為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列” 的充分不必要條件．

（Ⅲ）解：（1）當(dāng)為奇數(shù)時，

如果為偶數(shù)，

若為奇數(shù)，則為奇數(shù)，所以為偶數(shù)，與矛盾；

若為偶數(shù)，則為偶數(shù)，所以為奇數(shù)，與矛盾．

所以當(dāng)為奇數(shù)時， 不能為偶數(shù)．

（2）當(dāng)為偶數(shù)時，

如果為奇數(shù)，

若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，所以為偶數(shù)，與矛盾；

若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，所以為奇數(shù)，與矛盾．

所以當(dāng)為偶數(shù)時， 不能為奇數(shù)．

綜上可得與同奇偶．

所以為偶數(shù)．

因為為偶數(shù)，所以為偶數(shù)．

因為為偶數(shù)，且，所以．

因為，且，所以．

以此類推，可得．