Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛 /千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛 /千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛 /千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當(dāng)時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時）可以達(dá)到最大，并求出最大值. （精確到1輛/小時）.

 

Answer 1

【答案】

（1）v(x)=； 

當(dāng)x=100時，f(x)在區(qū)間[0, 200]上的最大值為≈3333，

【解析】（1）當(dāng)當(dāng)設(shè)由解得.寫出時，函數(shù)的表達(dá)式；是一個分段函數(shù)；

（2）在（1）的條件下，求出f(x)=，分段求出函數(shù)f(x)的最大值，比較得最大值和對應(yīng)的x的值.

（1）由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v(x)=60；……………………2分

當(dāng)20≤x≤200時，v(x)= a x + b；

再由已知得：，解得，……………………6分

故函數(shù)v(x)的解析式為

v(x)=；         …………………8分

（2）依題意并由（1）可得：

f(x)=，    ………………10分

當(dāng)0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時，其最大值為60×20=1200；

當(dāng)20≤x≤200時，f(x)=，……………12分

當(dāng)且僅當(dāng)，即x=100時，等號成立.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061918034139147807/SYS201206191804543601648316_DA.files/image015.png">，……………14分

所以，當(dāng)x=100時，f(x)在區(qū)間[0, 200]上的最大值為≈3333，

答：當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時.