Question

已知函數(shù)，R.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的極值大于？若存在，求的取值范圍；若不存

在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間

為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間. （2）存在，范圍為

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051114150524056693/SYS201305111415425217723952_DA.files/image006.png">，.  

① 當(dāng)時(shí)，，∵ ∴，∴ 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為 

② 當(dāng)時(shí)，令得，即，.

（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，得，故，

∴ 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.                     

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為，.

若，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，.

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，若，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間

為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）由(1)得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無(wú)極值

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

∴有極大值，其值為，其中.

∵，即， ∴.

設(shè)函數(shù)，則，

∴在上為增函數(shù)，又，則，

∴.  

即，結(jié)合解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，突出分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的滲透與應(yīng)用，屬于難題，第二題把有正的極大值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象開(kāi)口向下與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，思路巧妙，學(xué)習(xí)中值得借鑒．