Question

【題目】已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)， ． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性定義證明f（x）在定義域R上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)x∈（﹣∞，0）， 則﹣x∈（0，+∞），
∵當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=
∴f（﹣x）= ，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
即f（﹣x）= =﹣f（x），
∴f（x）=﹣ ，x∈（﹣∞，0），
∴f（x）= ．
（Ⅱ）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴只需要證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增即可，
設(shè)x2＞x1≥0，
則 ，
∵x2＞x1≥0，
∴x2﹣x1＞0， ，
即 ＞0，
∴f（x2）＞f（x1），即函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在定義域R上是增函數(shù)
【解析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求f（x）的解析式；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明f（x）在定義域R上是增函數(shù)．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇即可以解答此題．