已知函數(shù)f(x)=ax+
ax
+b(a，b∈R)的圖象在點（1，f（1））處得切線在y軸上的截距為3，若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是
[1，+∞）
[1，+∞）
．
分析：先根據(jù)圖象在點（1，f（1））處得切線在y軸上的截距為3，求得b=3-2a，再將f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立，構造新函數(shù)，再進行分類討論，即可確定a的取值范圍．
解答：解：由題意，f（1）=2a+b∵函數(shù)f(x)=ax+
a
x
+b(a，b∈R)
∴f′（x）=a-
a
x2

∴f′（1）=0；
所以圖象在點（1，f（1））處的切線為：y=f（1）=2a+b=3∴b=3-2a 若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立即：f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立；
設g（x）=f（x）-x=（a-1）x+
a
x
+3-2a，
∴g′（x）=a-1-
a
x2
 a≤0時，x2＞1，0＜
1
x2
＜1，∴0＜-
a
x2
＜-a，∴a-1-
a
x2
＜-1＜0； 0＜a＜1時，a-1＜0，∴-
a
x2
＜0，∴a-1-
a
x2
＜0；所以a＜1時，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴g（x）＞0不會恒成立，不滿足題意；
把a=1代入可得：g（x）=
1
x
+1＞0在（1，+∞） 上恒成立，符合條件； a＞1時，g′（x）=0 得：x=
a
a-1
；當x＞
a
a-1
時，g′（x）＞0；1＜x＜
a
a-1
時，g′（x）＜0 所以g（x）min=g
a
a-1
）＞0即可即：（a-1）
a
a-1
+
a
a
a-1
+3-2a＞0
∴2
a(a-1)
＞2a-3 ①當1＜a≤
3
2
時，上式恒成立； ②當a＞
3
2
時，平方得：4a2-4a＞4a2-12a+9 即：a＞
9
8
；
∴a＞
3
2
時，符合題意；綜上可知：a的取值范圍是：[1，+∞），
故答案為：[1，+∞）
點評：本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，解題時正確分類，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性是關鍵
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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