Question

求證：(1+

1

n

)n+(1+

2

n

)n+…+(1+

n

n

)n＜

e-en+1

1-e

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：推理和證明

分析：觀察所證不等式的右端是等比數(shù)列{eⁿ}的前n項和，故需要證明[（1+

k

n

）]ⁿ＜e^k（k∈N^*），于是可構造函數(shù)g（x）=lnx-x+1，利用導數(shù)法易知g（x）=lnx-x+1在[1，+∞）上單調遞減，可得lnx＜x-1（x＞1）．再令x=1+

k

n

（k∈N^*），變形可證得[（1+

k

n

）]ⁿ＜e^k（k∈N^*），從而可證得結論成立．

解答： 解：令g（x）=lnx-x+1，
當x≥1時，g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

≤0，
∴g（x）=lnx-x+1在[1，+∞）上單調遞減，
∴當x≥1時，g（x）_max=g（1）=0，
∴g（x）=lnx-x+1≤g（1）=0，
當x＞1時，g（x）=lnx-x+1＜g（1）=0
即lnx＜x-1（x＞1）．
令x=1+

k

n

（k∈N^*），則ln（1+

k

n

）＜

k

n

，即nln（1+

k

n

）＜k，
∴l(xiāng)n[（1+

k

n

）]ⁿ＜k，
∴[（1+

k

n

）]ⁿ＜e^k（k∈N^*），
∴(1+

1

n

)n+(1+

2

n

)n+…+(1+

n

n

)n＜e¹+e²+…+eⁿ=

e-en+1

1-e

（證畢）．

點評：本題考查不等式的證明，觀察出所證不等式的右端是等比數(shù)列{eⁿ}的前n項和，從而分析出需要證明[（1+

k

n

）]ⁿ＜e^k（k∈N^*）是關鍵，考查構造函數(shù)思想，屬于難題．