Question

現(xiàn)在“汽車”是很“給力”的名詞．汽車廠商對(duì)某款汽車的維修費(fèi)進(jìn)行電腦模擬試驗(yàn)，分別以汽車使用年限n和前n年累計(jì)維修費(fèi)S_n（萬(wàn)元）為橫、縱坐標(biāo)繪制成點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)y=ax²+bx（a≠0）的圖象上（如圖所示），其中A（5，1.05）、B（10，4.1）．
（1）求出累計(jì)維修費(fèi)S_n關(guān)于使用年數(shù)n的表達(dá)式，并求出第n年得維修費(fèi)；
（2）汽車開(kāi)始使用后每年均需維修，按國(guó)家質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，出售后前兩年作為保修時(shí)間，在保修期間的維修費(fèi)用由汽車廠商承擔(dān)，保修期過(guò)后，汽車維修費(fèi)用有車主承擔(dān)．若某人以9.18萬(wàn)元的價(jià)格購(gòu)買這款品牌車，求年平均耗資費(fèi)的最小值．（年平均耗資費(fèi)=

車價(jià)+車主承擔(dān)的維修費(fèi)

使用年數(shù)

）

Answer 1

分析：由A（5，1.05）與B（10，4.1）在函數(shù)y=ax²+bx（a≠0）的圖象上，
可得a=0.04，b=0.0則有 y=0.04x²+0.01x
再由（n，S_n）在y=0.04x²+0.01x 知S_n=0.04n²+0.01n，利用遞推公式a_n=S_n-S_n-1可求a_n
（2）根據(jù)題意可得車價(jià)+車主承擔(dān)的維修費(fèi)=0.04n²+0.01n-0.18+9.18=0.04n²+0.01n+9萬(wàn)元從而年平均耗資

0.04n2+0.01n+9

n

，利用基本不等式可求

解答：解：由A（5，1.05）與B（10，4.1）在函數(shù)y=ax²+bx（a≠0）的圖象上得

1.05=25a+5b 4.1=100a+10b

解得a=0.04，b=0.01
所以 y=0.04x²+0.01x
由（n，S_n）在y=0.04x²+0.01x 知S_n=0.04n²+0.01n
n=1，a₁=S₁=0.05
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=0.08n-0.03
所以，a_n=0.08n-0.03
（2）由于在保修期間的維修費(fèi)用由車企業(yè)承擔(dān)
所以當(dāng)n≥3時(shí)，車主所承擔(dān)的累計(jì)維修費(fèi)為：a₃+a₄+…+a_n=S_n-S₂=0.04n²+0.01n-0.18萬(wàn)元
車價(jià)+車主承擔(dān)的維修費(fèi)=0.04n²+0.01n-0.18+9.18=0.04n²+0.01n+9萬(wàn)元
年平均耗資為

0.04n2+0.01n+9

n

=0.04n+

9

n

+0.01≥2

0.04n• 9 n

+0.01=1.21萬(wàn)元
當(dāng)且僅當(dāng)n=15取等號(hào)
即使用15年這款汽車的年平均耗資費(fèi)用最少為1.21萬(wàn)元

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題，在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題是高考應(yīng)用命題的重點(diǎn)之一不等式的應(yīng)用題大多與函數(shù)、數(shù)列結(jié)合出現(xiàn)，屬于綜合試題在解決范圍問(wèn)題或求最值時(shí)，基本不等式為主要工具，從而解決實(shí)際問(wèn)題．