【題目】某休閑農(nóng)莊有一塊長(zhǎng)方形魚(yú)塘ABCD,AB=50米,BC=25 米,為了便于游客休閑散步,該農(nóng)莊決定在魚(yú)塘內(nèi)建三條如圖所示的觀光走廊OE、EF和OF,考慮到整體規(guī)劃,要求O是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在邊AD上,且∠EOF=90°.
(1)設(shè)∠BOE=α,試將△OEF的周長(zhǎng)l表示成α的函數(shù)關(guān)系式,并求出此函數(shù)的定義域;
(2)經(jīng)核算,三條走廊每米建設(shè)費(fèi)用均為4000元,試問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使建設(shè)總費(fèi)用最低并求出最低總費(fèi)用.
【答案】
(1)解:∵在Rt△BOE中,OB=25,∠B=90°,∠BOE=α,
∴OE=
在Rt△AOF中,OA=25,∠A=90°,∠AFO=α,
∴OF= .
又∠EOF=90°,
∴EF= = ,
∴l(xiāng)=OE+OF+EF= .
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D時(shí),這時(shí)角α最小,此時(shí)α= ;
當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)時(shí),這時(shí)角α最大,求得此時(shí)α= .
故此函數(shù)的定義域?yàn)閇 , ];
(2)解:由題意知,要求鋪路總費(fèi)用最低,只要求△OEF的周長(zhǎng)l的最小值即可.
由(1)得,l= ,α∈[ , ],
設(shè)sinα+cosα=t,則sinαcosα= ,
∴l(xiāng)= =
由t=sinα+cosα= sin(α+ ),
又 ≤α+ ≤ ,得 ,
∴ ,
從而當(dāng)α= ,即BE=25時(shí),lmin=50( +1),
所以當(dāng)BE=AF=25米時(shí),鋪路總費(fèi)用最低,最低總費(fèi)用為200000( +1)元
【解析】(1)要將△OEF的周長(zhǎng)l表示成α的函數(shù)關(guān)系式,需把△OEF的三邊分別用含有α的關(guān)系式來(lái)表示,而OE,OF,分別可以在Rt△OBE,Rt△OAF中求解,利用勾股定理可求EF,從而可求.(2)要求鋪路總費(fèi)用最低,只要求△OEF的周長(zhǎng)l的最小值即可.由(1)得l= ,α∈[ , ],利用換元,設(shè)sinα+cosα=t,則sinαcosα= ,從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)求f(x)的極值;
(2)試比較20162017與20172016的大小,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin( ﹣φ)(0<φ< )的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,﹣1).
(1)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程及相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離d;
(2)設(shè)α、β∈[0, ],f(3α+ )= ,f(3β+2π)= ,求cos(α+β)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1).當(dāng)時(shí),求的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng),對(duì)于任意,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)的圖象始終在直線的下方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=2,anan+1=2(Sn+1) ().
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=1,(,),求{bn}的前n項(xiàng)和Tn;
(3)若數(shù)列{cn}滿足,(,),試問(wèn)是否存在正整數(shù)p,q(其中1 < p < q),使c1,cp,cq成等比數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的數(shù)組(p,q);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).
(1)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(2)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校為測(cè)評(píng)班級(jí)學(xué)生對(duì)任課教師的滿意度,采用“100分制”打分的方式來(lái)計(jì)分.現(xiàn)從某班學(xué)生中隨機(jī)抽取10名,以下莖葉圖記錄了他們對(duì)某教師的滿意度分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉):
規(guī)定若滿意度不低于98分,測(cè)評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”.
(1)求從這10人中隨機(jī)選取3人,至多有1人評(píng)價(jià)該教師是“優(yōu)秀”的概率;
記ξ表示抽到評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”的人數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
(2)以這10人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)班級(jí)的總體數(shù)據(jù),若從該班任選3人,
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【題目】如圖,類(lèi)比三角形中位線定理“如果EF是三角形的中位線,則EF AB.”,在空間四面體(三棱錐)P﹣ABC中,“如果 , 則”.
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