Question

8．已知函數$f（x）=\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}，x∈[{1，+∞}）$
（1）當$a=\frac{1}{2}$時，判斷函數f（x）在[1，+∞）的單調性，并加以證明．
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數f（x）在[1，+∞）上遞增．求出f（x）的導數，判斷在[1，+∞）上的符號，即可得到單調性；
（2）由題意可得$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞0在x∈[1，+∞）恒成立，即x²+2x+a＞0在x∈[1，+∞）恒成立，即有-a＜x²+2x在x∈[1，+∞）恒成立，由g（x）=x²+2x，判斷g（x）在[1，+∞）的單調性，可得最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）當$a=\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+\frac{1}{2}}{x}$=x+$\frac{1}{2x}$+2，
且函數f（x）在[1，+∞）上遞增．
理由：f（x）的導數為f′（x）=1-$\frac{1}{2{x}^{2}}$，
由x≥1，可得0＜$\frac{1}{2{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
則f′（x）＞0，可得函數f（x）在[1，+∞）上遞增；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即為$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞0在x∈[1，+∞）恒成立，
即x²+2x+a＞0在x∈[1，+∞）恒成立，
即有-a＜x²+2x在x∈[1，+∞）恒成立，
由g（x）=x²+2x在x∈[1，+∞）遞增，
可得g（x）的最小值為g（1）=3．
則-a＜3，即有a＞-3．
故實數a的取值范圍是（-3，+∞）．

點評 本題考查函數的單調性的判斷和證明，注意運用導數證明，也可以運用單調性的定義，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用轉化思想和參數分離，以及二次函數的單調性，考查運算能力，屬于中檔題．