已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
5
3
，且直線y=x+
b
2
是拋物線y2=4x的一條切線．
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓上一點(diǎn)，直線l：
x0x
9
+
y0y
4
=1，判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由；
（3）過橢圓上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線x=
9
5
5
于點(diǎn)A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程，由于直線y=x+
b
2
是拋物線y2=4x的一條切線，可得△=0，可得b．再利用
c
a
=
5
3
，a2=b2+c2，即可解得橢圓的方程．
（2）把直線l的方程與橢圓線方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程，只有證明△=0即可；
（3）首先取兩種特殊情形：切點(diǎn)分別在短軸兩端點(diǎn)時(shí)，求得兩圓的方程分別為(x-
9
5
10
)2+(y-2)2=
81
20
或(x-
9
5
10
)2+(y+2)2=
81
20
，
兩圓相交于點(diǎn)（
5
，0），（
4
5
5
，0）．若定點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)F2（
5
，0）．只需證：
PF2
⊥
AF2
．即可．同理判斷Q（
4
5
5
，0）是否為定點(diǎn)．
解答： 解：（1）聯(lián)立
y=x+
b
2
y2=4x
，化為4x2+（4b-16）x+b2=0，
∵直線y=x+
b
2
是拋物線y2=4x的一條切線，
∴△=（4b-16）2-16b2=0，
解得b=2．
又
c
a
=
5
3
，a2=b2+c2，解得a=3，c=
5
，b=2．
∴橢圓的方程是
x2
9
+
y2
4
=1．
（2）聯(lián)立
x0x
9
+
y0y
4
=1
x2
9
+
y2
4
=1
化為(
x
2
0
81
+
y
2
0
36
)x2-
2x0
9
x+1-
y
2
0
4
=0，
△=(-
2x0
9
)2-4(
x
2
0
81
+
y
2
0
36
)(1-
y
2
0
4
)=
y
2
0
36
(
x
2
0
9
+
y
2
0
4
-1)=0，
∴直線l與橢圓相切．
（3）首先取兩種特殊情形：切點(diǎn)分別在短軸兩端點(diǎn)時(shí)，
求得兩圓的方程為(x-
9
5
10
)2+(y-2)2=
81
20
或(x-
9
5
10
)2+(y+2)2=
81
20
，
兩圓相交于點(diǎn)（
5
，0），（
4
5
5
，0），
若定點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)F2（
5
，0）．
則需證：
PF2
⊥
AF2
．
設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），則橢圓過點(diǎn)P的切線方程是
x1x
9
+
y1y
4
=1，
∴點(diǎn)A(
9
5
5
，
20-4
5
x1
5y1
)，
PF2
=(
5
-x1，-y1)，
AF2
=(-
4
5
5
，
20-4
5
x1
5y1
)，
∴
PF2
•
AF2
=(
5
-x1)(-
4
5
5
)+(-y1)(
20-4
5
x1
5y1
)=-4+
4
5
5
x1+4-
4
5
5
x1=0，
∴
PF2
⊥
AF2
．
若定點(diǎn)為Q(
4
5
5
，0)，則
PQ
•
AQ
=(
4
5
5
-x1)(-
5
)+(-y1)(-
20-4
5
x1
5y1
)=
5
x1
5
，不滿足題意．
綜上，以線段AP為直徑的圓恒過定點(diǎn)（
5
，0）．
點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓及拋物線相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到的一元二次方程的判別式是否為0的問題、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

不等式log2（-x2+x+2）＞1的解集為（　　）
A、（-2，0）
B、（-1，1）
C、（0，1）
D、（1，2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
1-a
2
x2-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-3，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t），求函數(shù)g（t）在區(qū)間[-4，-1]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}，a1=1，an+1=
an
3
+
1
3n
．?dāng)?shù)列{bn}，bn=3n-1an．正數(shù)數(shù)列{dn}，dn2=1+
1
bn2
+
1
bn+12
．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}，{dn}的前n項(xiàng)和分別為Bn，Dn，求數(shù)列{bnDn+dnBn-bndn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果數(shù)列{an}滿足：a1+a2+a3+…+an=0且|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1（n≥3，n∈N*），則稱數(shù)列{an}為n階“歸化數(shù)列”．
（1）若某4階“歸化數(shù)列”{an}是等比數(shù)列，寫出該數(shù)列的各項(xiàng)；
（2）若某11階“歸化數(shù)列”{an}是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）若{an}為n階“歸化數(shù)列”，求證：a1+
1
2
a2+
1
3
a3+…+
1
n
an≤
1
2
-
1
2n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某小區(qū)想利用一矩形空地ABCD建市民健身廣場，設(shè)計(jì)時(shí)決定保留空地邊上的一水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個(gè)等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，經(jīng)測量得到AE=10m，EF=20m．為保證安全同時(shí)考慮美觀，健身廣場周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個(gè)保護(hù)欄．設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過點(diǎn)G作一直線交AB，DF于M，N，從而得到五邊形MBCDN的市民健身廣場，設(shè)DN=x（m）
（1）將五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù)；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，市民健身廣場的面積最大？并求出最大面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M={0，1，2，…，q-1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1，xi∈M，i=1，2，…n}．
（Ⅰ）當(dāng)q=2，n=3時(shí)，用列舉法表示集合A；
（Ⅱ）設(shè)s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．證明：若an＜bn，則s＜t．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，|an+1-an|=pn，n∈N*．
（Ⅰ）若{an}是遞增數(shù)列，且a1，2a2，3a3成等差數(shù)列，求p的值；
（Ⅱ）若p=
1
2
，且{a2n-1}是遞增數(shù)列，{a2n}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知隨機(jī)變量X的分布列，則隨機(jī)變量X的方差D（X）=
 
．
X 0 1
P 2a a

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同步練習(xí)冊答案