Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，AB=PA=$\sqrt{3}$，AD=2，PB=$\sqrt{6}$，E為PB中點(diǎn)，且AE⊥BC．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）若M，N分別為棱PC，PD中點(diǎn)，求四棱錐B-MCDN的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PA⊥AB，BC⊥PA，由此能證明PA⊥平面ABCD．
（2）四棱錐B-MCDN的體積V_B-MCDN=V_A-MCDN=$\frac{3}{4}{V}_{A-PCD}=\frac{3}{4}{V}_{P-ACD}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）由題意有PA²+AB²=3+3=6=PB²，所以PA⊥AB①，
因?yàn)锳B=AP，E為PB中點(diǎn)，
所以AE⊥PB，又AE⊥PC，PB∩PC=C，
所以，AE⊥平面PBC，
又BC?平面PBC，所以AE⊥BC，
又AB⊥BC，及AE∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB，
又PA?平面PAB，所以BC⊥PA②，
由①②及AB∩BC=B得PA⊥平面ABCD，
故PA⊥平面ABCD．
解：（2）因?yàn)锽A∥CD，CD?平面PCD，
所以BA∥平面PCD，
所以四棱錐B-MCDN的體積V_B-MCDN=V_A-MCDN，
又M，N分別為棱PC，PD的中點(diǎn)，所以${S_{MCDN}}=\frac{3}{4}{S_{PCD}}$，
所以${V_{B-MCDN}}={V_{A-MCDN}}=\frac{3}{4}{V_{A-PCD}}=\frac{3}{4}{V_{P-ACD}}=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}}）×\sqrt{3}=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．