Question

16．己知直線ax+by-6=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²-2x-4y=0截得的弦長為2$\sqrt{5}$，則ab的最大值是（　�。�

• A． 9
• B． $\frac{9}{2}$
• C． 4
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式得圓心（1，2）在直線ax+by-6=0上，而a+2b=6，由此利用均值定理能求出ab的最大值．

解答 解：∵圓x²+y²-2x-4y=0的圓心（1，2），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+16}$=$\sqrt{5}$，
直線ax+by-6=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²-2x-4y=0截得的弦長為2$\sqrt{5}$，
∴圓心（1，2）在直線ax+by-6=0上，
∴a+2b=6，
∵a＞0，b＞0，
∴2ab≤（$\frac{a+2b}{2}$）²=9，∴ab≤$\frac{9}{2}$，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3時，ab取最大值$\frac{9}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查兩數(shù)積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線距離公式、均值定理的合理運(yùn)用．