分析 (I)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(II)利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、等差數(shù)列的求和公式可得bn,再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出.
解答 解:(Ⅰ)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比是q,則q>0.
∵a42=4a1a5,
∴a42=4a32
∴q2=$\frac{{{a}_{4}}^{2}}{{{a}_{3}}^{2}}$=4,從而q=2.
∴a1=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{4}{2}$=2,
∴an=a1qn-1=2n;
(Ⅱ)bn=log2a1+log2a2+…+log2an=log2(2×22×…×2n)=1+2+3+…+n=$\frac{n(n+1)}{2}$,
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{2}{n(n+1)}$=2($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$).
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和Sn=2[(1-$\frac{1}{2}$)+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+…+($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$)]
=2(1-$\frac{1}{n+1}$)
=2-$\frac{2}{n+1}$<2.
即Sn<2.
點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
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