Question

已知函數(shù)f(x)=

mx

2

+

m-2

2x

 (m＞0)．若f（x）≥lnx+m-1在[1，+∞）上恒成立，
（1）求m取值范圍；
（2）證明：2ln2+3ln3+…+nlnn≤

2n3+3n2-5n

12

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由題意，令g(x)=lnx-

mx

2

-

m-2

2x

+m-1≤0在x∈[1，+∞）上恒成立，求導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可確定m取值范圍；
（2）取m=1，則lnx≤

1

2

(x-

1

x

)，令x=n，可得nlnn≤

n2-1

2

，累加并化簡(jiǎn)可得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，令g(x)=lnx-

mx

2

-

m-2

2x

+m-1≤0在x∈[1，+∞）上恒成立
  g′(x)=

1

x

-

m

2

+

m-2

2x2

=

-(x-1)(mx+m-2)

2x2

…4分
當(dāng)-1＜

2

m

-1≤1時(shí)，即m≥1時(shí)g′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g（x）在其上遞減．
∵g_max=g（1）≤0
∴原式成立．
當(dāng)

2

m

-1＞1，即0＜m＜1時(shí)，∵g(1)=0，gmax=g(

2

m

-1)＞g(1)=0
∴不能恒成立．
綜上：m≥1…9分
（2）證明：取m=1，則lnx≤

1

2

(x-

1

x

)，∴xlnx≤

x2-1

2

令x=n，∴nlnn≤

n2-1

2

∴2ln2+3ln3+…+nlnn≤

1

2

[22+32+..+n2+1-n]
∵12+22+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

∴2ln2+3ln3+…+nlnn≤

2n3+3n2-5n

12

，原不等式成立…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查不等式的證明，正確求導(dǎo)，合理取值是關(guān)鍵．