已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間的最小值為,求的值.
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間為;(2).
解析試題分析:(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可利用定義,也可利用求導(dǎo)法,本題含有對(duì)數(shù)函數(shù),可通過(guò)求導(dǎo)法來(lái)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求函數(shù)導(dǎo)函數(shù),令,找出分界點(diǎn),從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,但由于含有參數(shù),需對(duì)參數(shù)分,,討論,從而得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)在區(qū)間的最小值為,求的值,求出函數(shù)在區(qū)間的最小值,令它等于為即可,由(1)可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,的最小值為,解出,驗(yàn)證是否符合,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間為,由于不知函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性,需討論,,,分別求出函數(shù)在區(qū)間的最小值,令它等于為,解出,驗(yàn)證是否符合,從而得的值.
試題解析:函數(shù)的定義域是, .
(1)(1)當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞減.
(2)當(dāng)時(shí),恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
(3)當(dāng)時(shí),令,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7a/1/1vkdg3.png" style="vertical-align:middle;" />,解得.
①當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在單調(diào)遞減.
②當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,
當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間為. 7分
(2)(1)當(dāng)時(shí),由(1)可知,在上單調(diào)遞減,
所以的最小值為,解得,舍去.
(2)當(dāng)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某工廠有一批貨物由海上從甲地運(yùn)往乙地,已知輪船的最大航行速度為60海里/小時(shí),甲地至乙地之間的海上航行距離為600海里,每小時(shí)的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其他費(fèi)用組成,輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)與輪船速度的平方成正比,比例系數(shù)為0.5,其余費(fèi)用為每小時(shí)1250元。
(1)把全程運(yùn)輸成本(元)表示為速度(海里/小時(shí))的函數(shù);
(2)為使全程運(yùn)輸成本最小,輪船應(yīng)以多大速度行駛?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的極大值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,半徑為30的圓形(為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料,其中點(diǎn)在圓弧上,點(diǎn)在兩半徑上,現(xiàn)將此矩形材料卷成一個(gè)以為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗),設(shè)與矩形材料的邊的夾角為,圓柱的體積為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式?
(2)求圓柱形罐子體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù),
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在區(qū)間內(nèi)存在,使不等式成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
一個(gè)圓柱形圓木的底面半徑為1m,長(zhǎng)為10m,將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個(gè)部分.現(xiàn)要把其中一個(gè)部分加工成直四棱柱木梁,長(zhǎng)度保持不變,底面為等腰梯形(如圖所示,其中O為圓心,在半圓上),設(shè),木梁的體積為V(單位:m3),表面積為S(單位:m2).
(1)求V關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求的值,使體積V最大;
(3)問(wèn)當(dāng)木梁的體積V最大時(shí),其表面積S是否也最大?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的極值;
(2)設(shè)函數(shù)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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