Question

若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（b-a³+2lna）²+（c-d-2）²=0，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、2

  2

• D、8

Answer 1

分析：由題意b-a³+2lna=0，設(shè)b=y，a=x，得y=x³-2lnx；c-d-2=0，設(shè)c=x，d=y，得y=x+2；（a-c）²+（b-d）²應(yīng)是曲線y=x³-2lnx與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，由此求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答：解：根據(jù)題意，得

b-a3+2lna=0…① c-d-2=0…②

，
①中，設(shè)b=y，a=x，則y=x³-2lnx，（x＞0）；
②中，設(shè)c=x，d=y，則y=x+2；
∴（a-c）²+（b-d）²是曲線y=x³-2lnx與直線y=x+2之間的最小距離的平方值；
對曲線y=x³-2lnx求導(dǎo)，得y'（x）=3x²-

2

x

，
與y=x+2平行的切線斜率k=1=3x²-

2

x

，即3x³-x-2=0；
解得x=1，此時(shí)y=1；
∴切點(diǎn)（1，1）到直線y=x+2的距離為
d=

|1-1+2|

2

=

2

，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值是d²=2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求最小值的問題，解題的關(guān)鍵是把所求的結(jié)論轉(zhuǎn)化為可解答的曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離問題，是難題．