Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2wx+2

3

sinwx•coswx-1(w＞0)的圖象與x軸兩相鄰交點(diǎn)之間的距離為π．
（1）求f（x）的解析式，并討論f（x）的單調(diào)性．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，得到的函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的最大值及g（x）取得最大值時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第一、三項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由f（x）圖象與x軸兩相鄰交點(diǎn)之間的距離為π，得到T=2π，求出ω的值，確定出f（x）解析式，由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)平移規(guī)律“左加右減”得到g（x）解析式，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出g（x）的最大值，以及此時(shí)x的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-

π

6

），
∵f（x）圖象與x軸兩相鄰交點(diǎn)之間的距離為π，
∴T=2π，即ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

），
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）時(shí)，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，即kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

4

（k∈Z）時(shí)，f（x）為減函數(shù)；
（2）根據(jù)題意得到g（x）=2sin（2（x+

π

4

）-

π

6

）=2sin（2x+

π

3

），
當(dāng)2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

12

（k∈Z）時(shí)，g（x）最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．