【題目】已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(Ⅱ)若,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,求的取值范圍
【答案】(Ⅰ)當(dāng)時,;當(dāng)時,;
當(dāng)時,.(Ⅱ)的范圍為.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)易得,再對分情況確定的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)在上的單調(diào)性即可得在上的最小值.(Ⅱ)設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點,注意到.聯(lián)系到函數(shù)的圖象可知,導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點,在區(qū)間內(nèi)存在零點,即在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點. 由(Ⅰ)可知,當(dāng)及時,在內(nèi)都不可能有兩個零點.所以.此時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因此,且必有.由得:,代入這兩個不等式即可得的取值范圍.
試題解答:(Ⅰ)
①當(dāng)時,,所以.
②當(dāng)時,由得.
若,則;若,則.
所以當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,所以.
當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以.
當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,所以.
(Ⅱ)設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點,則由可知,
在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增,也不可能單調(diào)遞減.
則不可能恒為正,也不可能恒為負(fù).
故在區(qū)間內(nèi)存在零點.
同理在區(qū)間內(nèi)存在零點.
所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點.
由(Ⅰ)知,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,故在內(nèi)至多有一個零點.
當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,故在內(nèi)至多有一個零點.
所以.
此時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
因此,必有
.
由得:,有
.
解得.
當(dāng)時,在區(qū)間內(nèi)有最小值.
若,則,
從而在區(qū)間上單調(diào)遞增,這與矛盾,所以.
又,
故此時在和內(nèi)各只有一個零點和.
由此可知在上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
所以,,
故在 內(nèi)有零點.
綜上可知,的取值范圍是.
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【題目】已知橢圓C的方程為,為橢圓C的左右焦點,離心率為,短軸長為2。
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,橢圓C的內(nèi)接平行四邊形ABCD的一組對邊分別過橢圓的焦點,求該平行四邊形ABCD面積的最大值.
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【題目】某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他們分別記錄了2015年12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如表:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
溫差x(℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y(顆) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.
(1)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程bx+a;
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得到的線性回歸方程是否可靠?
,.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間和極值點;
(2)若在單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點的極坐標(biāo)為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;
(2)若是曲線上的動點,為線段的中點,求點到直線的距離的最大值.
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【題目】11月,2019全國美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽舉辦,其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點投籃比賽(每人各投一次為一輪),在相同的條件下,每輪甲乙兩人在同一位置,甲先投,每人投一次球,兩人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;兩人都命中或都未命中,兩人均得0分,設(shè)甲每次投球命中的概率為,乙每次投球命中的概率為,且各次投球互不影響.
(1)經(jīng)過1輪投球,記甲的得分為,求的分布列;
(2)若經(jīng)過輪投球,用表示經(jīng)過第輪投球,累計得分,甲的得分高于乙的得分的概率.
①求;
②規(guī)定,經(jīng)過計算機(jī)計算可估計得,請根據(jù)①中的值分別寫出a,c關(guān)于b的表達(dá)式,并由此求出數(shù)列的通項公式.
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【題目】某商店銷售某海鮮,統(tǒng)計了春節(jié)前后50天該海鮮的需求量(,單位:公斤),其頻率分布直方圖如圖所示,該海鮮每天進(jìn)貨1次,商店每銷售1公斤可獲利50元;若供大于求,剩余的削價處理,每處理1公斤虧損10元;若供不應(yīng)求,可從其它商店調(diào)撥,銷售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店每天該海鮮的進(jìn)貨量為14公斤,商店的日利潤為元.
(1)求商店日利潤關(guān)于需求量的函數(shù)表達(dá)式;
(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替.
①求這50天商店銷售該海鮮日利潤的平均數(shù);
②估計日利潤在區(qū)間內(nèi)的概率.
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【題目】已知橢圓的半焦距為,圓與橢圓有且僅有兩個公共點,直線與橢圓只有一個公共點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知動直線過橢圓的左焦點,且與橢圓分別交于兩點,試問:軸上是否存在定點,使得為定值?若存在,求出該定值和點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;
(2)若恒成立,求的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)的極值點為,當(dāng)變化時,點(,)構(gòu)成曲線M.證明:任意過原點的直線,與曲線M均僅有一個公共點.
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