Question

【題目】已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)，時(shí)，證明：；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析

【解析】

（1）轉(zhuǎn)化原不等式為，令，，對(duì)稱軸，求導(dǎo)分析單調(diào)性，可得在上單調(diào)遞增，在上遞減，在上遞增，只需證明，構(gòu)造，分析單調(diào)性，即可得證；

（2）求導(dǎo)，由為極值點(diǎn)，可得，，化簡(jiǎn)可得，繼而構(gòu)造函數(shù)可證明，

令可得，令，求導(dǎo)研究單調(diào)性，可證明，即得證

（1），即為

即

令，則

令

令對(duì)稱軸

則

時(shí)， 時(shí)， 時(shí)，

在上單調(diào)遞增，在上遞減，且

在上遞增

故只需證明，即證

即

令

則

在上單調(diào)遞減，而

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即成立

當(dāng)時(shí)，成立；

（2）

有兩個(gè)極值點(diǎn)

令

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上遞減，上遞增

故即

由 可得

則

由得，下證即

即證

等價(jià)于證明

令

故

令 則

令

則

在上遞減

即