Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)Sn為數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，求證：1≤Sn＜4．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），

可得an+1+1=2（an+1），

即有數(shù)列{an+1}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，

則an+1=2n，即為an=2n﹣1

（2）解：證明： = =n（ ）n﹣1，

前n項(xiàng)和Sn=11+2 +3 +…+n（ ）n﹣1，

Sn=1 +2 +3 +…+n（ ）n，

兩式相減可得， Sn=1+ + + +…+（ ）n﹣1﹣n（ ）n，

= ﹣n（ ）n，

化簡(jiǎn)可得前n項(xiàng)和Sn=4﹣（2n+4）（ ）n．

由 = ＜1，

可得（2n+4）（ ）n為遞減數(shù)列，

則Sn為遞增，則Sn≥S1=1，且Sn＜4．

即有1≤Sn＜4．

【解析】（1）由題意可得an+1+1=2（an+1），運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求；（2）求出 = =n（ ）n﹣1 ， 再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可得證．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．