Question

已知數(shù)列的首項．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）記，若，求最大正整數(shù)的值；
（3）是否存在互不相等的正整數(shù)，使成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列？如果存在，請給予證明；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）證明過程見解析;（2）最大正整數(shù)的值為100;（3）滿足題意的正整數(shù)不存在.

試題分析：（1）由已知條件構(gòu)造出，據(jù)等比數(shù)列的定義知數(shù)列為等比數(shù)列；（2）由等比數(shù)列的通項公式求出的通項公式.易得出，再解出即可;（3）假設(shè)存在，可得，由通項公式代入化簡可得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又互不相等，則不存在.
試題解析：解：（1）因為，所以
又因為，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列.    4分
（2）由（1）可得，所以，
，
若，則，所求最大正整數(shù)的值為100.    9分
（3）假設(shè)存在滿足題意的正整數(shù)，
則，，
因為，所以，
化簡得，，因為，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又互不相等，
所以滿足題意的正整數(shù)不存在.      14分