設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為實數(shù),且a≠0),F(xiàn)(x)=
f(x),x>0
-f(x),x<0

(1)若f(-1)=0,曲線y=f(x)通過點(0,2a+3),且在點(-1,f(-1))處的切線垂直于y軸,求f(x)的表達(dá)式;
(2)在(Ⅰ)在條件下,當(dāng)x∈[-1,1]時,g(x)=kx-f(x)是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)為偶函數(shù),證明F(m)+F(n)>0.
分析:(1)由f(x)=ax2+bx+c,知f'(x)=2ax+b.由曲線y=f(x)在點(-1,f(-1))處的切線垂直于y軸,推導(dǎo)出b=2a,由f(-1)=0,知b=a+c.由曲線y=f(x)通過點(0,2a+3),知c=2a+3,由此能求出f(x)的表達(dá)式.
(2)由f(x)=-3x2-6x-3,知g(x)=kx-f(x)=3x2+(k+6)x+3.由g(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù),能求出k的取值范圍.
(3)由f(x)是偶函數(shù),知f(x)=ax2+c.由mn<0,m+n>0,知m,n異號.由此能證明F(m)+F(n)>0.
解答:解:(1)因為f(x)=ax2+bx+c,所以f'(x)=2ax+b.
又曲線y=f(x)在點(-1,f(-1))處的切線垂直于y軸,故f'(-1)=0,
即-2a+b=0,因此b=2a.①
因為f(-1)=0,所以b=a+c.②
又因為曲線y=f(x)通過點(0,2a+3),
所以c=2a+3.③
解由①,②,③組成的方程組,得a=-3,b=-6,c=-3.
從而f(x)=-3x2-6x-3.…(4分)
(2)由(Ⅰ)知f(x)=-3x2-6x-3,
所以g(x)=kx-f(x)=3x2+(k+6)x+3.
由g(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù)知:-
k+6
6
≤-1
-
k+6
6
≥1

得 k≤-12或k≥0.…(9分)
(3)因為f(x)是偶函數(shù),可知b=0.
因此f(x)=ax2+c.…(10分)
又因為mn<0,m+n>0,
可知m,n異號.
若m>0,則n<0.
則F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am2+c-an2-c=a(m+n)(m-n)>0.…(12分)
若m<0,則n>0.
同理可得F(m)+F(n)>0.
綜上可知F(m)+F(n)>0.…(14分)
點評:本題考查函數(shù)的解析式的求法,考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法,考查不等式的證明.解題時要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
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xx-1
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12
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-1
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x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果,則f(x)的展開式中常數(shù)項是(  )
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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