Question

17．已知函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上具有下列性質(zhì)：
①f（x+2）=-f（x）；
②f（x+1）是偶函數(shù)；
③當(dāng)x₁≠x₂∈[1，3]時，（f（x₂）-f（x₁））•（x₂-x₁）＞0，
則f（2015），f（2016），f（2017）的大小關(guān)系為（　�。�

• A． f（2015）＞f（2016）＞f（2017）
• B． f（2016）＞f（2015）＞f（2017）
• C． f（2017）＞f（2015）＞f（2016）
• D． f（2017）＞f（2016）＞f（2015）

Answer 1

分析 由①可得f（x）是周期等于4的函數(shù)，由②可得f（x）=f（2-x），由③可得函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，由此可判斷f（2015），f（2016），f（2017）的大小關(guān)系．

解答 解：∵①f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x），故函數(shù)f（x）是周期等于4的函數(shù)．
∵②f（x+1）是偶函數(shù)，故有f（-x+1）=f（x+1），即f（x）=f（2-x），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
③當(dāng)x₁≠x₂∈[1，3]時，（f（x₂）-f（x₁））•（x₂-x₁）＞0，即$\frac{f{（x}_{2}）-f{（x}_{1}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞0，
故函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增．
又f（2015）=f（3），f（2016）=f（0）=f（2），f（2017）=f（1），∴f（3）＞f（2）＞f（1），
則f（2015）＞，f（2016）＞f（2017），
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)的周期性、函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．